1. Simplificación del integrando
Aplicamos la regla de la división de fracciones (extremos con extremos y medios con medios):
$$ f(x) = \frac{x+1}{x+2} \cdot \frac{x+4}{x+3} = \frac{x^2 + 5x + 4}{x^2 + 5x + 6} $$

2. División algebraica
Para integrar más fácilmente, realizamos una división o sumamos y restamos en el numerador:
$$ \frac{x^2 + 5x + 4}{x^2 + 5x + 6} = \frac{(x^2 + 5x + 6) - 2}{x^2 + 5x + 6} = 1 - \frac{2}{x^2 + 5x + 6} $$
Factorizamos el denominador: $x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$.

3. Fracciones parciales
$$ \frac{2}{(x+2)(x+3)} = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x+3} $$
Resolviendo para A y B:
$2 = A(x+3) + B(x+2)$
Si $x = -3 \implies B = -2$
Si $x = -2 \implies A = 2$
Entonces:
$$ 1 - \left( \frac{2}{x+2} - \frac{2}{x+3} \right) = 1 - \frac{2}{x+2} + \frac{2}{x+3} $$

4. Integración
$$ \begin{aligned} \int_{0}^{1} \left( 1 - \frac{2}{x+2} + \frac{2}{x+3} \right) dx &= [x - 2\log(x+2) + 2\log(x+3)]_0^1 \\ &= [x + 2\log(\frac{x+3}{x+2})]_0^1 \\ &= (1 + 2\log\frac{4}{3}) - (0 + 2\log\frac{3}{2}) \\ &= 1 + \log(\frac{4}{3})^2 - \log(\frac{3}{2})^2 = 1 + \log(\frac{16}{9}) - \log(\frac{9}{4}) \\ &= 1 + \log(\frac{16/9}{9/4}) = 1 + \log(\frac{64}{81}) \end{aligned} $$
Equivalente en la forma $1 - \log(\dots)$:
$$ 1 + \log(\frac{64}{81}) = 1 - \log(\frac{81}{64}) $$
$$ \boxed{\int_{0}^{1} \frac{\frac{x+1}{x+2}}{\frac{x+3}{x+4}} \, dx = 1 - \log\left(\frac{81}{64}\right)} $$