1. Identificación de la función y puntos de intersección
Para resolver la integral de la función máximo, debemos determinar en qué intervalos $\sin(x) \geq \sin(2x)$ y en cuáles $\sin(2x) \geq \sin(x)$. Primero, hallamos los puntos de intersección igualando las funciones:
$$ \sin(x) = \sin(2x) $$
Utilizando la identidad de ángulo doble $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$:
$$ \begin{aligned} \sin(x) &= 2\sin(x)\cos(x) \\ \sin(x) (1 - 2\cos(x)) &= 0 \end{aligned} $$
Esto nos da dos conjuntos de soluciones en $[0, 2\pi]$:

• $\sin(x) = 0 \implies x = 0, \pi, 2\pi$
• $1 - 2\cos(x) = 0 \implies \cos(x) = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

2. Análisis por intervalos
Evaluamos cuál función es mayor en cada subintervalo:

• $[0, \frac{\pi}{3}]$: Probamos $x = \frac{\pi}{6}$. $\sin(\frac{\pi}{6}) = 0.5$, $\sin(\frac{\pi}{3}) \approx 0.866$. $\max = \sin(2x)$.
• $[\frac{\pi}{3}, \pi]$: Probamos $x = \frac{\pi}{2}$. $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, $\sin(\pi) = 0$. $\max = \sin(x)$.
• $[\pi, \frac{5\pi}{3}]$: Probamos $x = \frac{3\pi}{2}$. $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$, $\sin(3\pi) = 0$. $\max = \sin(2x)$.
• $[\frac{5\pi}{3}, 2\pi]$: Probamos $x = \frac{11\pi}{6}$. $\sin(\frac{11\pi}{6}) = -0.5$, $\sin(\frac{11\pi}{3}) \approx -0.866$. $\max = \sin(x)$.

3. Planteamiento y resolución de las integrales
Dividimos la integral original en cuatro partes:
$$ I = \int_{0}^{\pi/3} \sin(2x) \, dx + \int_{\pi/3}^{\pi} \sin(x) \, dx + \int_{\pi}^{5\pi/3} \sin(2x) \, dx + \int_{5\pi/3}^{2\pi} \sin(x) \, dx $$
Calculamos cada una:

• $I_1 = \left[ -\frac{1}{2}\cos(2x) \right]_{0}^{\pi/3} = -\frac{1}{2}(\cos\frac{2\pi}{3} - \cos 0) = -\frac{1}{2}(-\frac{1}{2} - 1) = \frac{3}{4}$
• $I_2 = \left[ -\cos(x) \right]_{\pi/3}^{\pi} = -(\cos \pi - \cos \frac{\pi}{3}) = -(-1 - \frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$
• $I_3 = \left[ -\frac{1}{2}\cos(2x) \right]_{\pi}^{5\pi/3} = -\frac{1}{2}(\cos\frac{10\pi}{3} - \cos 2\pi) = -\frac{1}{2}(-\frac{1}{2} - 1) = \frac{3}{4}$
• $I_4 = \left[ -\cos(x) \right]_{5\pi/3}^{2\pi} = -(\cos 2\pi - \cos \frac{5\pi}{3}) = -(1 - \frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$

4. Suma total
$$ I = \frac{3}{4} + \frac{3}{2} + \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3}{4} + \frac{6}{4} + \frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} $$
$$ \boxed{\int_{0}^{2\pi} \max(\sin(x), \sin(2x)) \, dx = \frac{5}{2}} $$