1. Datos e identificación del problema:
Se presenta una integral impropia de primera especie debido al límite superior infinito. La función integrando es:
$$ f(x) = \frac{e^x(1+x)}{(xe^x)^2 - 1} $$

2. Elección de la sustitución:
Observamos que el término $xe^x$ aparece en el denominador elevado al cuadrado. Derivamos esta expresión para verificar si el numerador es su diferencial:
Si hacemos $u = xe^x$, entonces por la regla del producto:
$$ du = (1 \cdot e^x + x \cdot e^x) dx = (e^x + xe^x) dx $$
Esta expresión coincide exactamente con el numerador de nuestra integral.

3. Cambio de límites de integración:

• Si $x = 1 \implies u = (1)e^1 = e$
• Si $x \to \infty \implies u \to \infty$

4. Desarrollo de la integral:
Sustituyendo en la integral original:
$$ I = \int_{e}^{\infty} \frac{du}{u^2 - 1} $$
Esta es una integral estándar que se resuelve por fracciones parciales o mediante la fórmula de la integral de una función racional:
$$ \int \frac{du}{u^2 - a^2} = \frac{1}{2a} \ln \left| \frac{u - a}{u + a} \right| $$
En nuestro caso $a = 1$:
$$ I = \lim_{b \to \infty} \left[ \frac{1}{2} \ln \left( \frac{u - 1}{u + 1} \right) \right]_{e}^{b} $$

5. Evaluación de los límites:
$$ I = \frac{1}{2} \left[ \lim_{b \to \infty} \ln \left( \frac{b - 1}{b + 1} \right) - \ln \left( \frac{e - 1}{e + 1} \right) \right] $$
Como $\lim_{b \to \infty} \frac{b-1}{b+1} = 1$, y $\ln(1) = 0$, tenemos:
$$ I = \frac{1}{2} \left[ 0 - \ln \left( \frac{e - 1}{e + 1} \right) \right] = -\frac{1}{2} \ln \left( \frac{e - 1}{e + 1} \right) $$
Usando la propiedad de los logaritmos $-\ln(A/B) = \ln(B/A)$:
$$ \boxed{\int_{1}^{\infty} \frac{e^{x} + xe^{x}}{x^{2}e^{2x} - 1} dx = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{e + 1}{e - 1} \right)} $$