1. Datos del problema:
Se presenta una integral que involucra una función logarítmica y una potencia negativa de $x$. El método más adecuado es la integración por partes.

2. Fórmulas y propiedades:
Utilizaremos la fórmula de integración por partes:
$$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $$
Y la derivada de la función logarítmica: $\frac{d}{dx}[\log(1+x^2)] = \frac{2x}{1+x^2}$.

3. Desarrollo paso a paso:
Definimos las variables para la integración por partes:
$$ \begin{aligned} u &= \log(1+x^2) \implies du = \frac{2x}{1+x^2} \, dx \\ dv &= \frac{1}{x^2} \, dx \implies v = -\frac{1}{x} \end{aligned} $$

Aplicando la fórmula:
$$ I = -\frac{\log(1+x^2)}{x} - \int \left( -\frac{1}{x} \right) \frac{2x}{1+x^2} \, dx $$
Simplificando el término dentro de la integral (las $x$ se cancelan):
$$ I = -\frac{\log(1+x^2)}{x} + \int \frac{2}{1+x^2} \, dx $$
La integral resultante es una forma inmediata que corresponde a la función arcotangente:
$$ I = -\frac{\log(1+x^2)}{x} + 2 \arctan(x) + C $$

4. Resultado final:
Reordenando los términos para que coincidan con la estructura solicitada:
$$ \boxed{\int \frac{\log(1+x^2)}{x^2} \, dx = 2 \arctan(x) - \frac{\log(1+x^2)}{x} + C} $$