1. Datos y análisis previo:
Se tiene una integral definida de una función racional en el intervalo $[0, 1]$. El numerador contiene un producto que debemos desarrollar para simplificar la expresión.

2. Desarrollo del numerador:
Expandimos el término $(1-x)^2$:
$$ (1-x)^2 = 1 - 2x + x^2 $$
Multiplicamos por $2x$:
$$ 2x(1 - 2x + x^2) = 2x - 4x^2 + 2x^3 $$

3. División de polinomios:
Dado que el grado del numerador ($2x^3 - 4x^2 + 2x$) es mayor que el del denominador ($x^2 + 1$), realizamos la división:
$$ \begin{array}{r|l} 2x^3 - 4x^2 + 2x & x^2 + 1 \\ \hline -(2x^3 + 2x) & 2x - 4 \\ \cline{1-1} -4x^2 & \\ -(-4x^2 - 4) & \\ \cline{1-1} 4 & \end{array} $$
Por lo tanto, la fracción se puede escribir como:
$$ \frac{2x^3 - 4x^2 + 2x}{x^2 + 1} = (2x - 4) + \frac{4}{x^2 + 1} $$

4. Integración:
Sustituimos la expresión simplificada en la integral original:
$$ \int_{0}^{1} \left( 2x - 4 + \frac{4}{x^2 + 1} \right) dx $$
Calculamos la antiderivada término a término:
$$ \left[ x^2 - 4x + 4\arctan(x) \right]_{0}^{1} $$

5. Evaluación de límites:
Para $x = 1$:
$$ (1)^2 - 4(1) + 4\arctan(1) = 1 - 4 + 4\left(\frac{\pi}{4}\right) = -3 + \pi $$
Para $x = 0$:
$$ (0)^2 - 4(0) + 4\arctan(0) = 0 - 0 + 0 = 0 $$

6. Resultado:
$$ \pi - 3 - 0 = \pi - 3 $$
$$ \boxed{\int_{0}^{1} \frac{2x(1-x)^2}{1+x^2} dx = \pi - 3} $$