1. Datos y fórmulas:
Usaremos integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.

2. Elección de variables:
Sea:
$$ u = \arctan(\sqrt{x}) \implies du = \frac{1}{1+(\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx = \frac{1}{2\sqrt{x}(1+x)} \, dx $$
$$ dv = dx \implies v = x $$

3. Desarrollo:
Aplicamos la fórmula:
$$ I = x \arctan(\sqrt{x}) - \int \frac{x}{2\sqrt{x}(1+x)} \, dx $$
Simplificamos el término dentro de la integral: $\frac{x}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}$.
$$ I = x \arctan(\sqrt{x}) - \frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{x}}{1+x} \, dx $$

Para resolver $\int \frac{\sqrt{x}}{1+x} \, dx$, hacemos un cambio de variable:
$t = \sqrt{x} \implies x = t^2 \implies dx = 2t \, dt$.
$$ \int \frac{t}{1+t^2} (2t) \, dt = 2 \int \frac{t^2}{1+t^2} \, dt $$
Usando división larga o sumando y restando 1:
$$ 2 \int \frac{t^2 + 1 - 1}{1+t^2} \, dt = 2 \int \left( 1 - \frac{1}{1+t^2} \right) dt = 2(t - \arctan(t)) $$

Sustituimos de vuelta en $I$:
$$ I = x \arctan(\sqrt{x}) - \frac{1}{2} [2(\sqrt{x} - \arctan(\sqrt{x}))] $$
$$ I = x \arctan(\sqrt{x}) - \sqrt{x} + \arctan(\sqrt{x}) $$
Agrupamos los términos con arcotangente:
$$ I = (x + 1) \arctan(\sqrt{x}) - \sqrt{x} $$

4. Resultado:
$$ \boxed{(x + 1) \arctan(\sqrt{x}) - \sqrt{x} + C} $$