1. Datos e identificación:
Se presenta una integral de una función racional donde el numerador es de primer grado y el denominador es un trinomio de segundo grado irreducible (suma de cuadrados).

2. Propiedades y fórmulas a utilizar:

• Linealidad de la integral: $\int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$
• Integral logarítmica: $\int \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + C$
• Integral de la arcotangente: $\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx = \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C$

3. Desarrollo paso a paso:
Primero, separamos la integral original en dos fracciones más simples:
$$ \int \frac{2023x + 1}{x^2 + 2024} \, dx = \int \frac{2023x}{x^2 + 2024} \, dx + \int \frac{1}{x^2 + 2024} \, dx $$

Para la primera integral $I_1 = \int \frac{2023x}{x^2 + 2024} \, dx$:
Notamos que la derivada del denominador $x^2 + 2024$ es $2x$. Ajustamos el numerador multiplicando y dividiendo por 2:
$$ I_1 = \frac{2023}{2} \int \frac{2x}{x^2 + 2024} \, dx = \frac{2023}{2} \ln(x^2 + 2024) $$

Para la segunda integral $I_2 = \int \frac{1}{x^2 + 2024} \, dx$:
Identificamos la forma $\int \frac{1}{x^2 + a^2} \, dx$ con $a^2 = 2024$, por lo tanto $a = \sqrt{2024}$.
$$ I_2 = \frac{1}{\sqrt{2024}} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{2024}}\right) $$

4. Resultado final:
Combinando ambos resultados, obtenemos:
$$ \boxed{\frac{2023}{2} \ln(x^2 + 2024) + \frac{1}{\sqrt{2024}} \arctan\left(\frac{x}{\sqrt{2024}}\right) + C} $$