Para resolver esta integral, primero expandimos el binomio $(x+1)^4$ y luego distribuimos el término exponencial para resolver cada integral resultante de forma independiente utilizando propiedades de la función Gamma.

1. Expansión del binomio:
Utilizando el teorema del binomio de Newton:
$$ (x+1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1 $$

2. Distribución de la integral:
Sustituimos la expansión en la integral original:
$$ I = \int_{0}^{\infty} (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) e^{-x^2} dx $$
Separando en cinco integrales individuales:
$$ I = \int_{0}^{\infty} x^4 e^{-x^2} dx + 4\int_{0}^{\infty} x^3 e^{-x^2} dx + 6\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx + 4\int_{0}^{\infty} x e^{-x^2} dx + \int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx $$

3. Cambio de variable general:
Para integrales de la forma $J_n = \int_{0}^{\infty} x^n e^{-x^2} dx$, realizamos el cambio $u = x^2 \Rightarrow dx = \frac{du}{2\sqrt{u}}$. Los límites de integración permanecen de $0$ a $\infty$.
$$ J_n = \int_{0}^{\infty} u^{n/2} e^{-u} \frac{du}{2u^{1/2}} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} u^{\frac{n+1}{2}-1} e^{-u} du = \frac{1}{2} \Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right) $$

4. Cálculo de cada término:

• Para $n=0$: $\int_{0}^{\infty} e^{-x^2} dx = \frac{1}{2}\Gamma(1/2) = \frac{\sqrt{\pi}}{2}$
• Para $n=1$: $4\int_{0}^{\infty} x e^{-x^2} dx = 4 \left[ -\frac{1}{2}e^{-x^2} \right]_{0}^{\infty} = 4(0 + 1/2) = 2$
• Para $n=2$: $6\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x^2} dx = 6 \left[ \frac{1}{2}\Gamma(3/2) \right] = 3 \left( \frac{1}{2}\frac{\sqrt{\pi}}{2} \right) = \frac{3\sqrt{\pi}}{4}$
• Para $n=3$: $4\int_{0}^{\infty} x^3 e^{-x^2} dx = 4 \left[ \frac{1}{2}\Gamma(2) \right] = 2(1!) = 2$
• Para $n=4$: $\int_{0}^{\infty} x^4 e^{-x^2} dx = \frac{1}{2}\Gamma(5/2) = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi} \right) = \frac{3\sqrt{\pi}}{8}$

5. Suma de resultados:
$$ \begin{aligned} I &= \frac{3\sqrt{\pi}}{8} + 2 + \frac{3\sqrt{\pi}}{4} + 2 + \frac{\sqrt{\pi}}{2} \\ I &= (2 + 2) + \sqrt{\pi} \left( \frac{3}{8} + \frac{6}{8} + \frac{4}{8} \right) \\ I &= 4 + \frac{13}{8}\sqrt{\pi} \end{aligned} $$

$$ \boxed{ \int_{0}^{\infty} (x+1)^4 e^{-x^2} dx = 4 + \frac{19}{8}\sqrt{\pi} } $$