1. Identificación de la integral:
La integral presenta una función compuesta que podemos reescribir para facilitar su resolución mediante el método de integración por partes:
$$ I = \int \frac{(\log x)^2}{x^2} dx $$

2. Integración por partes:
Usamos la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Definimos:
$$ \begin{aligned} u &= (\log x)^2 \implies du = 2\log x \cdot \frac{1}{x} dx \\ dv &= x^{-2} dx \implies v = -\frac{1}{x} \end{aligned} $$
Aplicando la fórmula:
$$ I = -\frac{(\log x)^2}{x} - \int \left( -\frac{1}{x} \right) \left( \frac{2\log x}{x} \right) dx = -\frac{(\log x)^2}{x} + 2 \int \frac{\log x}{x^2} dx $$

3. Segunda integración por partes:
Para la integral restante $\int \frac{\log x}{x^2} dx$, aplicamos nuevamente el método:
$$ \begin{aligned} u_2 &= \log x \implies du_2 = \frac{1}{x} dx \\ dv_2 &= x^{-2} dx \implies v_2 = -\frac{1}{x} \end{aligned} $$
Entonces:
$$ \int \frac{\log x}{x^2} dx = -\frac{\log x}{x} - \int \left( -\frac{1}{x^2} \right) dx = -\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x} $$

4. Sustitución y simplificación:
Sustituimos este resultado en la expresión original de $I$:
$$ I = -\frac{(\log x)^2}{x} + 2 \left( -\frac{\log x}{x} - \frac{1}{x} \right) = -\frac{(\log x)^2}{x} - \frac{2\log x}{x} - \frac{2}{x} $$
Factorizando el signo negativo y el denominador común $x$:
$$ \boxed{I = -\frac{2 + 2\log(x) + \log^2(x)}{x} + C} $$