1. Análisis y simplificación del integrando:
Observamos el término radical interno $\sqrt{x^2 - 1}$. Para simplificar la expresión completa, utilizaremos la identidad de radicales dobles de la forma $\sqrt{A + \sqrt{B}}$. Sin embargo, es más elegante notar que:
$$ x + \sqrt{x^2 - 1} = \frac{2x + 2\sqrt{x^2 - 1}}{2} = \frac{(x+1) + (x-1) + 2\sqrt{x+1}\sqrt{x-1}}{2} $$
Reconocemos un trinomio cuadrado perfecto en el numerador:
$$ x + \sqrt{x^2 - 1} = \frac{(\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1})^2}{2} $$

2. Transformación de la integral:
Sustituimos esta expresión en la integral original:
$$ I = \int \sqrt{\frac{(\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1})^2}{2}} \, dx = \int \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}{\sqrt{2}} \, dx $$
Extraemos la constante:
$$ I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \left( (x+1)^{1/2} + (x-1)^{1/2} \right) \, dx $$

3. Integración directa:
Aplicamos la regla de la potencia $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1}$:
$$ \begin{aligned} I &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \frac{(x+1)^{3/2}}{3/2} + \frac{(x-1)^{3/2}}{3/2} \right] \\ I &= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{2}{3} \left[ (x+1)^{3/2} + (x-1)^{3/2} \right] \end{aligned} $$

4. Racionalización y resultado final:
Puesto que $\frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$, obtenemos:
$$ \boxed{I = \frac{\sqrt{2}}{3} \left( (x + 1)^{3/2} + (x - 1)^{3/2} \right) + C} $$