1. Datos y Definiciones:
La función parte fraccionaria se define como $\{u\} = u - \lfloor u \rfloor$, donde $\lfloor u \rfloor$ es la función parte entera (piso). Por lo tanto, la integral se puede reescribir como:
$$ I = \int_{0}^{2025} (\sqrt{x} - \lfloor \sqrt{x} \rfloor) \, dx = \int_{0}^{2025} \sqrt{x} \, dx - \int_{0}^{2025} \lfloor \sqrt{x} \rfloor \, dx $$

2. Cálculo de la primera integral:
Utilizamos la regla de la potencia para integrar $\sqrt{x} = x^{1/2}$:
$$ \int_{0}^{2025} x^{1/2} \, dx = \left[ \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_{0}^{2025} = \frac{2}{3}(2025)^{3/2} $$
Como $2025 = 45^2$, tenemos:
$$ \frac{2}{3}(45^2)^{3/2} = \frac{2}{3}(45)^3 = \frac{2}{3}(91125) = 60750 $$

3. Cálculo de la segunda integral (función escalonada):
La función $\lfloor \sqrt{x} \rfloor$ cambia de valor en los cuadrados perfectos $k^2$. Dividimos el intervalo $[0, 2025]$ en subintervalos $[k^2, (k+1)^2)$ para $k = 0, 1, \dots, 44$:
$$ \int_{0}^{2025} \lfloor \sqrt{x} \rfloor \, dx = \sum_{k=0}^{44} \int_{k^2}^{(k+1)^2} k \, dx = \sum_{k=0}^{44} k \left( (k+1)^2 - k^2 \right) = \sum_{k=0}^{44} k(2k+1) $$
Expandiendo la sumatoria:
$$ \sum_{k=0}^{44} (2k^2 + k) = 2 \sum_{k=0}^{44} k^2 + \sum_{k=0}^{44} k $$
Usando las fórmulas de sumas notables $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ y $\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$ con $n=44$:
$$ 2 \left( \frac{44 \cdot 45 \cdot 89}{6} \right) + \frac{44 \cdot 45}{2} = 2(29370) + 990 = 58740 + 990 = 59730 $$

4. Resultado final:
Restamos ambos valores obtenidos:
$$ I = 60750 - 59730 = 1020 $$
$$ \boxed{1020} $$