1. Datos y fórmulas:
Usaremos la identidad de producto de cosenos:
$$ \cos(A)\cos(B) = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)] $$
Y la propiedad de ortogonalidad:
$$ \int_{0}^{\pi} \cos(nx) dx = 0 \quad \text{si } n \neq 0, \quad \int_{0}^{\pi} \cos(0) dx = \pi $$

2. Desarrollo:
El integrando es un producto de 9 funciones coseno con frecuencias $k \in \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23\}$.
Al expandir este producto usando la identidad, obtendremos una suma de $2^{9-1} = 256$ términos de la forma:
$$ \frac{1}{2^8} \sum \cos(\pm 2x \pm 3x \pm \dots \pm 23x) $$
La integral será distinta de cero solo si la combinación lineal de las frecuencias es igual a cero:
$$ \pm 2 \pm 3 \pm 5 \pm 7 \pm 11 \pm 13 \pm 17 \pm 19 \pm 23 = 0 $$
Buscamos combinaciones que sumen cero. La suma total de los números es 100. Para que la suma sea cero, los términos positivos deben sumar 50.
Posibles combinaciones (ejemplo): $23+19+5+3 = 50$.
Existen exactamente 10 combinaciones de signos que resultan en una suma de cero (considerando la simetría).

3. Cálculo final:
Cada término que suma cero aporta $\int_{0}^{\pi} 1 dx = \pi$.
La amplitud resultante tras la expansión y el conteo de combinaciones válidas nos da:
$$ \boxed{\frac{5\pi}{256}} $$