1. Identificación del problema:
Se solicita el límite de una integral donde el integrando está elevado a la potencia $n$. Este tipo de problemas suelen resolverse mediante el Método de Laplace para la aproximación de integrales.

2. Análisis de la función base:
Sea $f(x) = \frac{e^{x-1}}{x^x}$. Para aplicar el método de Laplace, buscamos el máximo de esta función en el intervalo $[0, \infty)$. Definimos $g(x) = \ln(f(x))$:
$$ g(x) = (x-1) - x \ln x $$
Derivamos para encontrar puntos críticos:
$$ g'(x) = 1 - (\ln x + x \cdot \frac{1}{x}) = 1 - \ln x - 1 = -\ln x $$
Igualando a cero: $-\ln x = 0 \implies x = 1$.
Calculamos la segunda derivada en $x=1$:
$$ g''(x) = -\frac{1}{x} \implies g''(1) = -1 $$
Como $g''(1) < 0$, existe un máximo local en $x=1$. Notemos que $f(1) = \frac{e^{1-1}}{1^1} = 1$.

3. Aproximación por expansión de Taylor:
Cerca de $x=1$, expandimos $g(x)$ en serie de Taylor:
$$ g(x) \approx g(1) + g'(1)(x-1) + \frac{g''(1)}{2}(x-1)^2 = 0 + 0 - \frac{1}{2}(x-1)^2 $$
Por lo tanto, $f(x)^n = e^{n g(x)} \approx e^{-\frac{n(x-1)^2}{2}}$.

4. Cambio de variable y resolución:
Sustituimos la aproximación en la integral original:
$$ I \approx \sqrt{n} \int_{0}^{\infty} e^{-\frac{n(x-1)^2}{2}} dx $$
Sea $u = \sqrt{n}(x-1)$, entonces $du = \sqrt{n} dx$. Cuando $x=0$, $u=-\sqrt{n}$. Cuando $x \to \infty$, $u \to \infty$.
$$ I \approx \int_{-\sqrt{n}}^{\infty} e^{-\frac{u^2}{2}} du $$
Al tomar el límite $n \to \infty$:
$$ \lim_{n \to \infty} I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{u^2}{2}} du $$
Esta es una integral gaussiana estándar cuyo valor es $\sqrt{2\pi}$.

Resultado:
$$ \boxed{\sqrt{2\pi}} $$