1. Identificación de las funciones en el intervalo:
En el intervalo general $[n, n+1]$, donde $n \in \mathbb{Z}^+$, las funciones se comportan de la siguiente manera:

• La función piso $\lfloor x \rfloor = n$ para $x \in [n, n+1)$.
• La función techo $\lceil x \rceil = n+1$ para $x \in (n, n+1]$.

2. Descomposición de la integral impropia:
Dado que el integrando cambia su valor constante en cada intervalo unitario, expresamos la integral como una serie infinita:
$$ I = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{n}^{n+1} \frac{dx}{\lfloor x \rfloor^2 \lceil x \rceil^2} $$
Sustituyendo los valores de las funciones en cada intervalo:
$$ I = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{n}^{n+1} \frac{dx}{n^2 (n+1)^2} $$

3. Evaluación de la integral interna:
Como el término $\frac{1}{n^2(n+1)^2}$ es constante respecto a $x$:
$$ \int_{n}^{n+1} \frac{1}{n^2(n+1)^2} dx = \frac{1}{n^2(n+1)^2} [x]_{n}^{n+1} = \frac{1}{n^2(n+1)^2} $$

4. Uso de fracciones parciales:
Descomponemos el término general de la serie:
$$ \frac{1}{n^2(n+1)^2} = \left( \frac{1}{n(n+1)} \right)^2 = \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right)^2 $$
Desarrollando el binomio:
$$ \frac{1}{n^2} - \frac{2}{n(n+1)} + \frac{1}{(n+1)^2} $$
Aplicando nuevamente fracciones parciales a $\frac{2}{n(n+1)} = 2\left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$:
$$ \frac{1}{n^2(n+1)^2} = \frac{1}{n^2} - 2\left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) + \frac{1}{(n+1)^2} $$

5. Sumatoria de la serie:
Calculamos $I = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n^2} - \frac{2}{n} + \frac{2}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2} \right)$.
Separamos en series conocidas:

• $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$
• $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(n+1)^2} = \frac{\pi^2}{6} - \frac{1}{1^2} = \frac{\pi^2}{6} - 1$
• $\sum_{n=1}^{\infty} 2\left( \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} \right)$ es una serie telescópica: $2[(1/2 - 1) + (1/3 - 1/2) + \dots] = 2(0 - 1) = -2$

Sumando los resultados:
$$ \begin{aligned} I &= \frac{\pi^2}{6} + \left( \frac{\pi^2}{6} - 1 \right) - 2 \\ I &= \frac{2\pi^2}{6} - 3 = \frac{\pi^2}{3} - 3 \end{aligned} $$
Factorizando para llegar a la forma solicitada:
$$ \boxed{I = \frac{\pi^2 - 9}{3}} $$