Determine el valor de la integral que involucra la función parte entera (piso) $\lfloor \cdot \rfloor$:
$$ \int_{1}^{\infty} \frac{(-1)^{\lfloor x \rfloor + \lfloor x/2 \rfloor + \lfloor x/3 \rfloor + \lfloor x/4 \rfloor + \dots}}{x^2} \, dx $$