1. Identificación de la forma:
La integral presenta una estructura similar a la definición de la función Gamma, la cual se define como:
$$ \Gamma(n) = \int_{0}^{\infty} t^{n-1} e^{-t} \, dt $$

2. Cambio de variable:
Para llevar la integral a la forma estándar, realizamos la siguiente sustitución:
Sea $t = \frac{x^5}{2025}$. De aquí despejamos $x$:
$$ x^5 = 2025t \implies x = (2025t)^{1/5} = 2025^{1/5} t^{1/5} $$
Calculamos el diferencial $dx$:
$$ dx = 2025^{1/5} \cdot \frac{1}{5} t^{-4/5} \, dt $$
Los límites de integración permanecen iguales: si $x \to 0, t \to 0$ y si $x \to \infty, t \to \infty$.

3. Sustitución en la integral:
Expresamos $x^{3/2}$ en términos de $t$:
$$ x^{3/2} = (2025^{1/5} t^{1/5})^{3/2} = 2025^{3/10} t^{3/10} $$
Sustituyendo todo en la integral original $I$:
$$ I = \int_{0}^{\infty} e^{-t} \left( 2025^{3/10} t^{3/10} \right) \left( \frac{2025^{1/5}}{5} t^{-4/5} \right) \, dt $$
Simplificamos las constantes:
$$ I = \frac{2025^{3/10 + 2/10}}{5} \int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{3/10 - 8/10} \, dt $$
$$ I = \frac{2025^{1/2}}{5} \int_{0}^{\infty} e^{-t} t^{-1/2} \, dt $$

4. Evaluación final:
Sabemos que $2025 = 45^2$, por lo que $2025^{1/2} = 45$.
La integral restante es la definición de $\Gamma(1/2)$:
$$ \int_{0}^{\infty} t^{-1/2} e^{-t} \, dt = \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi} $$
Sustituyendo estos valores:
$$ I = \frac{45}{5} \sqrt{\pi} $$
$$ I = 9\sqrt{\pi} $$

$$ \boxed{9\sqrt{\pi}} $$