1. Datos del problema:
La integral involucra la función $\frac{\log(1-x)}{x}$, la cual está estrechamente relacionada con la función Dilogaritmo $Li_2(x)$.

2. Fórmulas usadas:

• Definición del Dilogaritmo: $Li_2(z) = -\int_{0}^{z} \frac{\log(1 - t)}{t} \, dt$.


• Identidad de Landen: $Li_2(x) + Li_2\left(\frac{x}{x-1}\right) = -\frac{1}{2}\log^2(1-x)$.


• Valor especial: $Li_2(1) = \zeta(2) = \frac{\pi^2}{6}$.


• Relación de inversión/reflexión: $Li_2(x) + Li_2(1-x) = \frac{\pi^2}{6} - \log(x)\log(1-x)$.

3. Desarrollo paso a paso:
La integral pedida es el negativo del dilogaritmo evaluado en $1/2$:
$$ I = -Li_2\left(\frac{1}{2}\right) $$

Usando la fórmula de reflexión para $x = 1/2$:
$$ Li_2\left(\frac{1}{2}\right) + Li_2\left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{\pi^2}{6} - \log\left(\frac{1}{2}\right)\log\left(1 - \frac{1}{2}\right) $$
$$ 2 Li_2\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi^2}{6} - \left(-\log(2)\right)\left(-\log(2)\right) $$
$$ 2 Li_2\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi^2}{6} - \log^2(2) $$

Despejamos $Li_2(1/2)$:
$$ Li_2\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi^2}{12} - \frac{\log^2(2)}{2} $$

Sustituimos esto en nuestra integral original $I = -Li_2(1/2)$:
$$ I = -\left( \frac{\pi^2}{12} - \frac{\log^2(2)}{2} \right) = \frac{\log^2(2)}{2} - \frac{\pi^2}{12} $$

4. Resultado:
$$ \boxed{\frac{\log^2(2)}{2} - \frac{\pi^2}{12}} $$