1. Datos y análisis previo
La integral presenta una combinación de funciones trigonométricas en el numerador y una raíz cuadrada con formas cuadráticas en el denominador. El objetivo es manipular el denominador para utilizar sustituciones estándar.

2. Transformación del denominador
Usamos la identidad fundamental $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)$ y $\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$ para expresar el radicando de dos formas convenientes:

Forma A (en términos de seno):
$$ 25 \sin^2(x) + 16 (1 - \sin^2(x)) = 25 \sin^2(x) + 16 - 16 \sin^2(x) = 9 \sin^2(x) + 16 $$

Forma B (en términos de coseno):
$$ 25 (1 - \cos^2(x)) + 16 \cos^2(x) = 25 - 25 \cos^2(x) + 16 \cos^2(x) = 25 - 9 \cos^2(x) $$

3. Separación de la integral
La integral se divide en dos partes:
$$ I = \int \frac{\cos(x)}{\sqrt{9 \sin^2(x) + 16}} dx + \int \frac{\sin(x)}{\sqrt{25 - 9 \cos^2(x)}} dx $$

4. Resolución paso a paso
Parte 1: Para $\int \frac{\cos(x)}{\sqrt{(3\sin(x))^2 + 4^2}} dx$, sea $u = 3\sin(x) \Rightarrow du = 3\cos(x) dx$.
$$ I_1 = \frac{1}{3} \int \frac{du}{\sqrt{u^2 + 4^2}} = \frac{1}{3} \text{arcsinh}\left(\frac{u}{4}\right) = \frac{1}{3} \text{arcsinh}\left(\frac{3}{4}\sin(x)\right) $$

Parte 2: Para $\int \frac{\sin(x)}{\sqrt{5^2 - (3\cos(x))^2}} dx$, sea $v = 3\cos(x) \Rightarrow dv = -3\sin(x) dx$.
$$ I_2 = -\frac{1}{3} \int \frac{dv}{\sqrt{5^2 - v^2}} = -\frac{1}{3} \arcsin\left(\frac{v}{5}\right) = -\frac{1}{3} \arcsin\left(\frac{3}{5}\cos(x)\right) $$

5. Resultado final
Sumando ambas partes obtenemos la solución:
$$ \boxed{\frac{1}{3} \text{arcsinh} \left( \frac{3}{4} \sin(x) \right) - \frac{1}{3} \arcsin \left( \frac{3}{5} \cos(x) \right) + C} $$