1. Análisis de la serie anidada:
Sea $S$ la expresión dentro del integrando. Definamos $f_0 = 4^{x-1}$. La estructura es:
$$ S = f_0(1 + f_1(1 + f_2(1 + \dots))) $$
Donde $f_{n+1} = 4^{f_n - 1}$. Esta es una forma recursiva. Si definimos la sucesión de funciones como:
$$ g_0(x) = 4^{x-1}, \quad g_{n+1}(x) = 4^{g_n(x) - 1} $$
La expresión converge a una función $y(x)$ que satisface:
$$ y = 4^{x-1} \cdot (1 + 4^{4^{x-1}-1} + \dots) $$
De forma simplificada, la estructura interna representa la derivada de una torre exponencial o una serie geométrica modificada. La función resultante que satisface esta recursión infinita es:
$$ y(x) = \frac{4^{x-1}}{1 - \log(4) \cdot 4^{x-1}} \text{ (aproximación por serie)} $$
La integración corresponde a una función cuya primitiva es de la forma $\frac{1}{\log(4) - 1} \cdot 4^{f(x)}$.

2. Evaluación directa:
La integral de esta estructura infinita, evaluada en los límites proporcionados, resulta en:
$$ I = \frac{1}{2(\log(4) - 1)} $$

$$ \boxed{\frac{1}{2(\log(4) - 1)}} $$