1. Definición de la función de torre exponencial:
Sea $y$ la función definida por la torre infinita de exponentes:
$$ y = x^{x^{x^{\dots}}} $$
Esta expresión es equivalente a $y = x^y$. Aplicando logaritmo natural a ambos lados:
$$ \log(y) = \log(x^y) \implies \log(y) = y \log(x) $$

2. Diferenciación implícita:
Para hallar el diferencial $dx$, derivamos implícitamente la relación $\log(y) = y \log(x)$:
$$ \frac{1}{y} dy = \log(x) dy + \frac{y}{x} dx $$
Agrupamos los términos con $dy$:
$$ dy \left( \frac{1}{y} - \log(x) \right) = \frac{y}{x} dx $$
Multiplicando por $y$ en ambos lados:
$$ dy (1 - y \log(x)) = \frac{y^2}{x} dx \implies \frac{dx}{x} = \frac{1 - y \log(x)}{y^2} dy $$
Observamos que el denominador de nuestra integral original es $x(y \log(x) - 1)$. Por lo tanto, podemos reescribir el término diferencial:
$$ \frac{dx}{x(y \log(x) - 1)} = \frac{1 - y \log(x)}{y^2 (y \log(x) - 1)} dy = -\frac{y \log(x) - 1}{y^2 (y \log(x) - 1)} dy = -\frac{1}{y^2} dy $$

3. Cambio de los límites de integración:
Debemos encontrar los valores de $y$ para $x = 1/4$ y $x = \sqrt{2}$ usando $x = y^{1/y}$:

• Si $x = \sqrt{2}$, buscamos $y$ tal que $y^{1/y} = 2^{1/2}$. Claramente, $y = 2$ es una solución.
• Si $x = 1/4$, buscamos $y$ tal que $y^{1/y} = (1/4) = (1/2)^2 = (1/2)^{1/(1/2)}$. Por lo tanto, $y = 1/2$.

4. Cálculo de la integral:
Sustituimos en la integral original con los nuevos límites y la nueva variable $y$:
$$ I = \int_{1/2}^{2} \left( -\frac{1}{y^2} \right) dy $$
Evaluamos la antiderivada:
$$ I = \left[ \frac{1}{y} \right]_{1/2}^{2} = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{1/2} \right) = \frac{1}{2} - 2 = -\frac{3}{2} $$

$$ \boxed{-\frac{3}{2}} $$