1. Datos del problema:
Límites de integración: $a = 1/2$, $b = 2$.
Función: $f(x) = \frac{x^8}{x^8 - x^6 + x^4 - x^2 + 1}$.

2. Propiedades usadas:
Utilizaremos la sustitución recíproca $x = \frac{1}{u}$, $dx = -\frac{1}{u^2} du$.
Notemos que cuando $x = 1/2 \implies u = 2$, y cuando $x = 2 \implies u = 1/2$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sea $I$ la integral original. Aplicamos $x = 1/u$:
$$ I = \int_{2}^{1/2} \frac{(1/u)^8}{(1/u)^8 - (1/u)^6 + (1/u)^4 - (1/u)^2 + 1} \left( -\frac{1}{u^2} \right) du $$
$$ I = \int_{1/2}^{2} \frac{1/u^{10}}{\frac{1 - u^2 + u^4 - u^6 + u^8}{u^8}} du = \int_{1/2}^{2} \frac{1}{u^2(u^8 - u^6 + u^4 - u^2 + 1)} du $$
Sumamos las dos versiones de la integral (en términos de $x$):
$$ 2I = \int_{1/2}^{2} \left( \frac{x^8}{x^8 - x^6 + x^4 - x^2 + 1} + \frac{1/x^2}{x^8 - x^6 + x^4 - x^2 + 1} \right) dx $$
Observamos que el denominador $D(x) = x^8 - x^6 + x^4 - x^2 + 1$ se puede escribir como $\frac{x^{10}+1}{x^2+1}$.
Sin embargo, simplificando la suma:
$$ \frac{x^8 + x^{-2}}{D(x)} = \frac{x^{10} + 1}{x^2 D(x)} $$
Como $x^{10} + 1 = (x^2+1)(x^8 - x^6 + x^4 - x^2 + 1)$, entonces:
$$ 2I = \int_{1/2}^{2} \frac{(x^2+1)D(x)}{x^2 D(x)} dx = \int_{1/2}^{2} \frac{x^2+1}{x^2} dx $$
$$ 2I = \int_{1/2}^{2} (1 + x^{-2}) dx = [x - x^{-1}]_{1/2}^{2} $$
$$ 2I = (2 - 1/2) - (1/2 - 2) = 1.5 - (-1.5) = 3 $$
$$ I = \frac{3}{2} $$

4. Resultado:
$$ \boxed{\frac{3}{2}} $$