1. Reescritura del integrando:
Podemos manipular el radicando para facilitar una sustitución:
$$ I = \int_{0}^{1} \frac{1 - x}{\sqrt{e^{2x}(1 - x^2e^{-2x})}} \, dx = \int_{0}^{1} \frac{1 - x}{e^x\sqrt{1 - (xe^{-x})^2}} \, dx $$
$$ I = \int_{0}^{1} \frac{e^{-x}(1 - x)}{\sqrt{1 - (xe^{-x})^2}} \, dx $$

2. Cambio de variable:
Sea $u = xe^{-x}$. Derivamos respecto a $x$:
$$ du = (1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x})) dx = e^{-x}(1 - x) dx $$
Observemos que el numerador de nuestra integral transformada es exactamente $du$.

3. Límites de integración:

• Si $x = 0 \implies u = 0 \cdot e^0 = 0$


• Si $x = 1 \implies u = 1 \cdot e^{-1} = 1/e$

4. Evaluación:
$$ I = \int_{0}^{1/e} \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}} $$
Esta es una integral inmediata cuya primitiva es $\arcsin(u)$:
$$ I = [\arcsin(u)]_{0}^{1/e} = \arcsin(1/e) - \arcsin(0) $$
Dado que $\arcsin(0) = 0$:
$$ \boxed{I = \arcsin\left(\frac{1}{e}\right)} $$