1. Simplificación del integrando:
Multiplicamos numerador y denominador por $e^{2x}$ para eliminar el exponente negativo:
$$ \int \frac{e^x \cdot e^{2x}}{(e^{2x} - e^{-2x})e^{2x}} \, dx = \int \frac{e^{3x}}{e^{4x} - 1} \, dx $$

2. Cambio de variable:
Sea $u = e^x$, entonces $du = e^x dx$. La integral se convierte en:
$$ \int \frac{u^2}{u^4 - 1} \, du $$

3. Descomposición en fracciones parciales:
El denominador se factoriza como $(u^2 - 1)(u^2 + 1)$. Usamos la identidad:
$$ \frac{u^2}{u^4 - 1} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{u^2 + 1} + \frac{1}{u^2 - 1} \right) $$

4. Integración:
$$ I = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^2 + 1} \, du + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^2 - 1} \, du $$
Sabemos que:

• $\int \frac{1}{u^2 + 1} \, du = \arctan(u)$


• $\int \frac{1}{u^2 - 1} \, du = -\text{arctanh}(u)$ (para $|u|<1$) o mediante logaritmos.

$$ I = \frac{1}{2} \arctan(u) - \frac{1}{2} \text{arctanh}(u) $$

5. Resultado final:
Sustituyendo $u = e^x$:
$$ \boxed{I = \frac{1}{2}(\arctan(e^x) - \text{arctanh}(e^x)) + C} $$