1. Descomposición en fracciones parciales:
El denominador se puede factorizar como $x^2(x - 1)(x + 1)$. La forma de la descomposición es:
$$ \frac{4x^2 - 1}{x^2(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x - 1} + \frac{D}{x + 1} $$

Multiplicando por el denominador común:
$$ 4x^2 - 1 = Ax(x^2 - 1) + B(x^2 - 1) + Cx^2(x + 1) + Dx^2(x - 1) $$

2. Determinación de constantes:

• Si $x = 0$: $-1 = B(-1) \implies B = 1$


• Si $x = 1$: $4(1)^2 - 1 = C(1)^2(2) \implies 3 = 2C \implies C = \frac{3}{2}$


• Si $x = -1$: $4(-1)^2 - 1 = D(-1)^2(-2) \implies 3 = -2D \implies D = -\frac{3}{2}$


• Comparando términos de $x^3$: $0 = A + C + D \implies A + \frac{3}{2} - \frac{3}{2} = 0 \implies A = 0$

3. Integración:
Sustituimos los valores en la integral:
$$ \int \left( \frac{1}{x^2} + \frac{3/2}{x-1} - \frac{3/2}{x+1} \right) \, dx $$
$$ = \int x^{-2} \, dx + \frac{3}{2} \int \frac{1}{x-1} \, dx - \frac{3}{2} \int \frac{1}{x+1} \, dx $$
$$ = -\frac{1}{x} + \frac{3}{2} \ln|x-1| - \frac{3}{2} \ln|x+1| + C $$

4. Simplificación:
Usando propiedades de los logaritmos $\ln a - \ln b = \ln(\frac{a}{b})$:
$$ \boxed{-\frac{1}{x} + \frac{3}{2} \ln \left( \frac{x-1}{x+1} \right) + C} $$