1. Identificación de la serie de potencias:
Observamos que la expresión dentro de la integral es una serie de potencias. Recordemos la serie de Taylor para la función exponencial $e^u$:
$$ e^u = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{u^k}{k!} $$
En el integrando, podemos factorizar un término de la sumatoria para que se asemeje a esta forma:
$$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2026k+2025}}{k!} = x^{2025} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(x^{2026})^k}{k!} $$
Sustituyendo $u = x^{2026}$, la serie se convierte en:
$$ x^{2025} \cdot e^{x^{2026}} $$

2. Planteamiento de la integral:
Sustituimos la forma cerrada de la serie en la integral original:
$$ I = \int_{0}^{2026} x^{2025} e^{x^{2026}} dx $$

3. Cambio de variable:
Para resolver la integral, aplicamos una sustitución simple:
Sea $u = x^{2026}$, entonces su diferencial es $du = 2026 x^{2025} dx$.
De aquí, $x^{2025} dx = \frac{du}{2026}$.

Ajustamos los límites de integración:

• Si $x = 0 \implies u = 0^{2026} = 0$.


• Si $x = 2026 \implies u = 2026^{2026}$.

4. Resolución:
Sustituyendo en la integral:
$$ \begin{aligned} I &= \int_{0}^{2026^{2026}} e^u \frac{du}{2026} \\ I &= \frac{1}{2026} \left[ e^u \right]_{0}^{2026^{2026}} \\ I &= \frac{1}{2026} \left( e^{2026^{2026}} - e^0 \right) \end{aligned} $$

Como $e^0 = 1$, el resultado final es:
$$ \boxed{\frac{e^{2026^{2026}} - 1}{2026}} $$