Para resolver esta integral, utilizaremos el método de sustitución simple de forma sucesiva para simplificar el integrando.

1. Primera sustitución:
Sea $u = \log(x)$. Entonces, la diferencial es $du = \frac{1}{x} \, dx$. Sustituyendo en la integral:
$$ I = \int \frac{\log(u) \log(\log(u))}{u} \, du $$

2. Segunda sustitución:
Sea $v = \log(u)$. Entonces, la diferencial es $dv = \frac{1}{u} \, du$. Sustituyendo nuevamente:
$$ I = \int v \log(v) \, dv $$

3. Integración por partes:
Para resolver $\int v \log(v) \, dv$, aplicamos la fórmula $\int w \, dz = wz - \int z \, dw$:
Sea:

• $w = \log(v) \implies dw = \frac{1}{v} \, dv$
• $dz = v \, dv \implies z = \frac{v^2}{2}$

Aplicando la fórmula:
$$ \begin{aligned} I &= \frac{v^2}{2} \log(v) - \int \frac{v^2}{2} \cdot \frac{1}{v} \, dv \\ I &= \frac{v^2}{2} \log(v) - \frac{1}{2} \int v \, dv \\ I &= \frac{v^2}{2} \log(v) - \frac{1}{2} \left( \frac{v^2}{2} \right) + C \\ I &= \frac{v^2}{4} (2 \log(v) - 1) + C \end{aligned} $$

4. Retornar a la variable original:
Recordamos que $v = \log(u) = \log(\log(x))$. Sustituimos $v$:
$$ I = \frac{(\log(\log(x)))^2}{4} (2 \log(\log(\log(x))) - 1) + C $$

Por lo tanto, el resultado es:
$$ \boxed{\frac{1}{4} \log(\log(x))^2 (2 \log(\log(\log(x))) - 1) + C} $$