1. Análisis de simetría:
Sea $I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-x^2}}{1 + e^{2x}} \, dx$. Realizamos el cambio de variable $u = -x$, entonces $du = -dx$. Los límites de integración cambian de $(\infty, -\infty)$ a $(-\infty, \infty)$ al compensar con el signo del diferencial:
$$ I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-(-u)^2}}{1 + e^{2(-u)}} \, du = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-u^2}}{1 + e^{-2u}} \, du $$

2. Manipulación algebraica:
Multiplicamos el numerador y denominador por $e^{2u}$:
$$ I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-u^2} e^{2u}}{(1 + e^{-2u}) e^{2u}} \, du = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-u^2} e^{2u}}{e^{2u} + 1} \, du $$

3. Suma de las dos formas de la integral:
Sumamos la expresión original y la obtenida tras el cambio de variable (usando $x$ como variable muda):
$$ 2I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-x^2}}{1 + e^{2x}} \, dx + \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{-x^2} e^{2x}}{1 + e^{2x}} \, dx $$
$$ 2I = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \left( \frac{1 + e^{2x}}{1 + e^{2x}} \right) \, dx = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx $$

4. Uso de la Integral de Gauss:
Se sabe por definición que $\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} \, dx = \sqrt{\pi}$. Por lo tanto:
$$ 2I = \sqrt{\pi} \implies I = \frac{\sqrt{\pi}}{2} $$

5. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{\sqrt{\pi}}{2}} $$