1. Identificación de la identidad trigonométrica:
El integrando tiene la forma de la parte real de la fórmula de De Moivre para un ángulo quíntuple. Recordemos que:
$$ \cos(5x) + i\sin(5x) = (\cos(x) + i\sin(x))^5 $$
Al desarrollar el binomio mediante el teorema de Newton:
$$ (\cos(x) + i\sin(x))^5 = \binom{5}{0}\cos^5(x) + \binom{5}{1}\cos^4(x)(i\sin(x)) + \binom{5}{2}\cos^3(x)(i\sin(x))^2 + \binom{5}{3}\cos^2(x)(i\sin(x))^3 + \binom{5}{4}\cos(x)(i\sin(x))^4 + \binom{5}{5}(i\sin(x))^5 $$
Igualando las partes reales:
$$ \cos(5x) = \cos^5(x) - 10\cos^3(x)\sin^2(x) + 5\cos(x)\sin^4(x) $$

2. Sustitución en la integral:
Notamos que el integrando es exactamente la expresión de $\cos(5x)$. Por lo tanto:
$$ I = \int \cos(5x) \, dx $$

3. Resolución:
Aplicando la regla de integración para funciones trigonométricas de argumento lineal $\int \cos(ax) \, dx = \frac{1}{a}\sin(ax) + C$:
$$ I = \frac{1}{5}\sin(5x) + C $$

Resultado:
$$ \boxed{\frac{1}{5}\sin(5x)} $$