1. Identificación de la serie:
La expresión dentro de la integral es una serie geométrica que comienza en $n=2$:
$$ \sum_{n=2}^{\infty} x^n = x^2 + x^3 + x^4 + \dots $$
Sabemos que para $|x| < 1$, la serie geométrica convergente es $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$.
Restando los términos $n=0$ ($x^0=1$) y $n=1$ ($x^1=x$):
$$ \sum_{n=2}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} - 1 - x = \frac{1 - (1-x)(1+x)}{1-x} = \frac{1 - (1-x^2)}{1-x} = \frac{x^2}{1-x} $$

2. Planteamiento de la integral:
$$ I = \int_{0}^{1/2} \frac{x^2}{1-x} \, dx $$
Realizamos una división algebraica o ajuste de términos:
$$ \frac{x^2}{1-x} = \frac{x^2 - 1 + 1}{1-x} = \frac{-(1-x^2) + 1}{1-x} = \frac{-(1-x)(1+x) + 1}{1-x} = -(1+x) + \frac{1}{1-x} $$
$$ \frac{x^2}{1-x} = -x - 1 + \frac{1}{1-x} $$

3. Resolución de la integral:
$$ I = \int_{0}^{1/2} \left( -x - 1 + \frac{1}{1-x} \right) \, dx $$
$$ I = \left[ -\frac{x^2}{2} - x - \log(1-x) \right]_{0}^{1/2} $$

4. Evaluación de límites:
Límite superior ($1/2$):
$$ -\frac{(1/2)^2}{2} - \frac{1}{2} - \log(1 - 1/2) = -\frac{1}{8} - \frac{1}{2} - \log(1/2) = -\frac{5}{8} + \log(2) $$
Límite inferior ($0$):
$$ -\frac{0^2}{2} - 0 - \log(1) = 0 $$

Resultado final:
$$ \boxed{\log(2) - \frac{5}{8}} $$