1. Datos del problema:
Se solicita integrar una función fraccionaria con radicales en el denominador.

2. Racionalización del denominador:
Multiplicamos y dividimos por la expresión conjugada del denominador:
$$ \frac{1}{\sqrt{x+1} - \sqrt{x-1}} \cdot \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}} = \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}{(x+1) - (x-1)} $$
Simplificando el denominador:
$$ (x+1) - (x-1) = x + 1 - x + 1 = 2 $$
Por lo tanto, la integral se transforma en:
$$ \int \frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x-1}}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int \left( (x+1)^{1/2} + (x-1)^{1/2} \right) \, dx $$

3. Integración paso a paso:
Aplicamos la regla de la potencia $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1}$:
$$ \begin{aligned} I &= \frac{1}{2} \left[ \frac{(x+1)^{3/2}}{3/2} + \frac{(x-1)^{3/2}}{3/2} \right] \\ I &= \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \left[ (x+1)^{3/2} + (x-1)^{3/2} \right] \\ I &= \frac{1}{3} \left( (x+1)^{3/2} + (x-1)^{3/2} \right) \end{aligned} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{1}{3} \left( (x+1)^{3/2} + (x-1)^{3/2} \right) + C} $$