1. Cálculo de la integral indefinida
Integramos término a término usando las reglas básicas:

• $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$


• $\int e^{ax} dx = \frac{1}{a} e^{ax}$

Por lo tanto:
$$ \int (x^5 + e^{3x}) dx = \frac{x^6}{6} + \frac{e^{3x}}{3} $$

2. Aplicación del Teorema Fundamental del Cálculo
Evaluamos en los límites $0$ y $1$:
$$ \left[ \frac{x^6}{6} + \frac{e^{3x}}{3} \right]_0^1 $$
$$ = \left( \frac{1^6}{6} + \frac{e^{3(1)}}{3} \right) - \left( \frac{0^6}{6} + \frac{e^{3(0)}}{3} \right) $$

3. Simplificación de los términos

• Término en $x=1$: $\frac{1}{6} + \frac{e^3}{3}$


• Término en $x=0$: $0 + \frac{1}{3}$ (recordando que $e^0 = 1$)

Restando los valores:
$$ I = \frac{1}{6} + \frac{e^3}{3} - \frac{1}{3} $$
$$ I = \frac{e^3}{3} + \frac{1 - 2}{6} = \frac{e^3}{3} - \frac{1}{6} $$

Conclusión:
El valor exacto de la integral es:
$$ \boxed{ \frac{e^3}{3} - \frac{1}{6} \approx 6.528 } $$