Datos del problema:
Podemos usar la identidad del ángulo doble para simplificar el término $\sin(2x)$.

Fórmulas utilizadas:
1. $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$
2. Sustitucion: $u = \sin(x)$

Desarrollo:
Sustituimos la identidad:
$$\int_{0}^{\pi/2} (2\sin x \cos x)^{3} \cos x dx = \int_{0}^{\pi/2} 8\sin^{3} x \cos^{3} x \cos x dx = 8 \int_{0}^{\pi/2} \sin^{3} x \cos^{4} x dx$$

Usamos la identidad $\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x$ para expresar todo en términos de $\sin x$ excepto un $\sin x$ (o viceversa). En este caso, es más fácil convertir $\sin^{3} x$:
$\sin^{3} x = \sin x (1 - \cos^{2} x)$.
Entonces: $8 \int \sin x (1 - \cos^{2} x) \cos^{4} x dx$.

Hacemos $u = \cos x$, entonces $du = -\sin x dx$.
Límites: si $x=0 \to u=1$; si $x=\pi/2 \to u=0$.
$$-8 \int_{1}^{0} (1 - u^{2}) u^{4} du = 8 \int_{0}^{1} (u^{4} - u^{6}) du$$

Integrando:
$$8 \left[ \frac{u^{5}}{5} - \frac{u^{7}}{7} \right]_{0}^{1} = 8 \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) = 8 \left( \frac{7-5}{35} \right) = 8 \left( \frac{2}{35} \right)$$

Resultado final:
$$I = \frac{16}{35}$$