1. Método por artificio algebraico:
Sumamos y restamos $e^x$ en el numerador (multiplicando por un factor conveniente):
$$I = \frac{1}{2} \int \frac{2}{2 + e^x} dx = \frac{1}{2} \int \frac{(2 + e^x) - e^x}{2 + e^x} dx$$
$$I = \frac{1}{2} \int \left( 1 - \frac{e^x}{2 + e^x} \right) dx$$

2. Integración directa:
La primera parte es inmediata. La segunda parte es de la forma $du/u$ donde $u = 2+e^x$:
$$I = \frac{1}{2} \left[ x - \log(2 + e^x) \right] + C$$
$$I = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}\log(2 + e^x) + C$$