I
Cal1 • Integrales
CALC_BEE_210
2012 MIT Integration Bee
Enunciado
Calcule:
$$\int \frac{x}{x^4 + 4} dx$$
$$\int \frac{x}{x^4 + 4} dx$$
Solución Paso a Paso
1. Sustitución:
Sea $u = x^2$, entonces $du = 2x dx \Rightarrow x dx = \frac{1}{2} du$.
2. Transformación:
$$\int \frac{1/2 du}{u^2 + 4} = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u^2 + 2^2}$$
3. Integración:
$$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{u}{2}\right) \right) + C = \frac{1}{4} \arctan\left(\frac{x^2}{2}\right) + C$$
Resultado:
$$\frac{1}{4} \arctan\left(\frac{x^2}{2}\right) + C$$
Sea $u = x^2$, entonces $du = 2x dx \Rightarrow x dx = \frac{1}{2} du$.
2. Transformación:
$$\int \frac{1/2 du}{u^2 + 4} = \frac{1}{2} \int \frac{du}{u^2 + 2^2}$$
3. Integración:
$$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} \arctan\left(\frac{u}{2}\right) \right) + C = \frac{1}{4} \arctan\left(\frac{x^2}{2}\right) + C$$
Resultado:
$$\frac{1}{4} \arctan\left(\frac{x^2}{2}\right) + C$$