1. Factorización del denominador:
$x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x-1)(x+1)$.

2. Descomposición en fracciones parciales:
$$\frac{1}{x(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x+1}$$
Multiplicando por el denominador común:
$1 = A(x-1)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x-1)$

• Si $x=0 \Rightarrow 1 = A(-1) \Rightarrow A = -1$


• Si $x=1 \Rightarrow 1 = B(1)(2) \Rightarrow B = 1/2$


• Si $x=-1 \Rightarrow 1 = C(-1)(-2) \Rightarrow C = 1/2$

3. Integración:
$$\int \left( -\frac{1}{x} + \frac{1}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x+1)} \right) dx$$
$$= -\ln|x| + \frac{1}{2}\ln|x-1| + \frac{1}{2}\ln|x+1| + C$$
$$= \ln \left( \frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|} \right) + C$$

Resultado:
$$\ln \left( \frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|} \right) + C$$