Este problema se resuelve identificando la regla del producto para derivadas en sentido inverso.
Recordemos que:
$$\frac{d}{dx} [f(x) \cdot g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$
Sea:

• $f(x) = \sin(x) \Rightarrow f'(x) = \cos(x)$


• $g(x) = \ln(x) \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{x}$

Observemos la estructura del integrando:
$$\cos(x) \cdot \ln(x) + \sin(x) \cdot \frac{1}{x}$$
Esto es exactamente la derivada de $\sin(x)\ln(x)$.
Por lo tanto:
$$\int \frac{d}{dx} (\sin(x) \ln(x)) dx = \sin(x) \ln(x) + C$$

Resultado:
$$\sin(x) \ln(x) + C$$