I
CAL2 • Integrales
CALC_BEE_151
MIT Integration Bee 2014
Enunciado
Calcule:
$$\int_{0}^{\infty} \frac{d}{dx} \left[ e^{1+x-x^2} \right] \, dx$$
$$\int_{0}^{\infty} \frac{d}{dx} \left[ e^{1+x-x^2} \right] \, dx$$
Solución Paso a Paso
1. Teorema Fundamental del Cálculo:
El problema nos pide integrar la derivada de una función. Por el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo:
$$\int_{a}^{b} f'(x) \, dx = f(b) - f(a)$$
En este caso, $f(x) = e^{1+x-x^2}$.
2. Evaluación de Límites:
Debemos calcular:
$$\left[ e^{1+x-x^2} \right]_{0}^{\infty} = \lim_{x \to \infty} (e^{1+x-x^2}) - e^{1+0-0^2}$$
3. Operación:
$$0 - e = -e$$
Resultado Final:
El valor de la integral es $-e$.
El problema nos pide integrar la derivada de una función. Por el Segundo Teorema Fundamental del Cálculo:
$$\int_{a}^{b} f'(x) \, dx = f(b) - f(a)$$
En este caso, $f(x) = e^{1+x-x^2}$.
2. Evaluación de Límites:
Debemos calcular:
$$\left[ e^{1+x-x^2} \right]_{0}^{\infty} = \lim_{x \to \infty} (e^{1+x-x^2}) - e^{1+0-0^2}$$
- Para el límite al infinito: En el exponente $1+x-x^2$, el término dominante es $-x^2$. Por tanto, el exponente tiende a $-\infty$. Sabemos que $\lim_{u \to -\infty} e^u = 0$.
- Para el límite inferior: $e^{1} = e$.
3. Operación:
$$0 - e = -e$$
Resultado Final:
El valor de la integral es $-e$.