1. Datos y análisis previo:
Observamos una función racional. El grado del numerador es menor que el del denominador. Un punto clave aquí es notar que el numerador ($x+1$) tiene una forma muy similar a la derivada del denominador ($x^2+2x+3$).

2. Fórmulas y propiedades utilizadas:

• Método de sustitución (Cambio de variable).


• Regla del logaritmo: $\int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C$.

3. Desarrollo paso a paso:

\textbullet Paso A: Identificar la sustitución adecuada.
Sea $u$ el denominador:
$$u = x^2 + 2x + 3$$
Calculamos su diferencial ($du$):
$$du = (2x + 2) \, dx$$
$$du = 2(x + 1) \, dx$$

\textbullet Paso B: Ajustar el diferencial en la integral.
Vemos que en nuestra integral tenemos $(x+1)dx$. Despejamos esto de nuestra ecuación de $du$:
$$\frac{1}{2} du = (x + 1) \, dx$$

\textbullet Paso C: Realizar la sustitución.
Sustituimos en la integral original:
$$\int \frac{1}{u} \cdot \left( \frac{1}{2} du \right) = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du$$

\textbullet Paso D: Integrar y volver a la variable original.
$$\frac{1}{2} \ln|u| + C$$
Sustituyendo $u = x^2 + 2x + 3$:
$$\frac{1}{2} \ln|x^2 + 2x + 3| + C$$

4. Resultado final:
Dado que el trinomio $x^2+2x+3$ siempre es positivo (su discriminante $\Delta = 2^2 - 4(1)(3) = -8$ es negativo), podemos omitir el valor absoluto:
$$\frac{1}{2} \ln(x^2 + 2x + 3) + C$$