1. Reconocimiento de la forma:
La función $\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$ es la derivada directa de la función arcosecante:
$$\frac{d}{dx} \sec^{-1}(x) = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$

2. Evaluación de límites:
Como el intervalo $[1, 2]$ es positivo, aplicamos el Teorema Fundamental del Cálculo:
$$\left[ \sec^{-1}(x) \right]_{1}^{2} = \sec^{-1}(2) - \sec^{-1}(1)$$

3. Valores trigonométricos:

• $\sec^{-1}(2) = \cos^{-1}(1/2) = \frac{\pi}{3}$
• $\sec^{-1}(1) = \cos^{-1}(1) = 0$

Resultado:
$$\frac{\pi}{3} - 0 = \frac{\pi}{3}$$