I
CAL1 • Integrales
CALC_BEE_056
MIT Integration Bee 2020
Enunciado
Calcule la integral indefinida:
$$\int x(1-x)^{2020} dx$$
$$\int x(1-x)^{2020} dx$$
Solución Paso a Paso
1. Cambio de variable:
Sea $u = 1-x \implies x = 1-u$ y $dx = -du$.
2. Sustitución:
$$\int (1-u) u^{2020} (-du) = \int (u - 1) u^{2020} du$$
$$\int (u^{2021} - u^{2020}) du$$
3. Integración término a término:
$$\frac{u^{2022}}{2022} - \frac{u^{2021}}{2021} + C$$
Resultado Final:
Volviendo a $x$:
$$\frac{(1-x)^{2022}}{2022} - \frac{(1-x)^{2021}}{2021} + C$$
Sea $u = 1-x \implies x = 1-u$ y $dx = -du$.
2. Sustitución:
$$\int (1-u) u^{2020} (-du) = \int (u - 1) u^{2020} du$$
$$\int (u^{2021} - u^{2020}) du$$
3. Integración término a término:
$$\frac{u^{2022}}{2022} - \frac{u^{2021}}{2021} + C$$
Resultado Final:
Volviendo a $x$:
$$\frac{(1-x)^{2022}}{2022} - \frac{(1-x)^{2021}}{2021} + C$$