I
CAL1 • Integrales
CALC_BEE_038
Guía básica
Enunciado
Calcule:
$$\int \frac{1}{\sqrt{x - x^2}} dx$$
$$\int \frac{1}{\sqrt{x - x^2}} dx$$
Solución Paso a Paso
1. Completar el cuadrado:
El trinomio es $-x^2 + x$.
$$- (x^2 - x) = - (x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{4} - (x - \frac{1}{2})^2$$
2. Forma de la integral:
$$\int \frac{dx}{\sqrt{(\frac{1}{2})^2 - (x - \frac{1}{2})^2}}$$
Recordemos que $\int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \arcsin(\frac{u}{a}) + C$.
Aquí $u = x - 1/2$ y $a = 1/2$.
3. Resolución:
$$\arcsin\left(\frac{x - 1/2}{1/2}\right) + C = \arcsin(2x - 1) + C$$
El trinomio es $-x^2 + x$.
$$- (x^2 - x) = - (x^2 - x + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{4} - (x - \frac{1}{2})^2$$
2. Forma de la integral:
$$\int \frac{dx}{\sqrt{(\frac{1}{2})^2 - (x - \frac{1}{2})^2}}$$
Recordemos que $\int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \arcsin(\frac{u}{a}) + C$.
Aquí $u = x - 1/2$ y $a = 1/2$.
3. Resolución:
$$\arcsin\left(\frac{x - 1/2}{1/2}\right) + C = \arcsin(2x - 1) + C$$