1. Identificación de identidades:
Recordemos la identidad fundamental $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Elevemos ambos miembros al cubo:
$$(\sin^2 x + \cos^2 x)^3 = 1^3$$

2. Desarrollo del binomio:
Usando la fórmula $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$:
$$\sin^6 x + \cos^6 x + 3\sin^2 x \cos^2 x (\sin^2 x + \cos^2 x) = 1$$
Como $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, la expresión se simplifica a:
$$\sin^6 x + \cos^6 x + 3\sin^2 x \cos^2 x = 1$$

3. Integración:
La integral original se reduce simplemente a integrar la constante 1:
$$\int 1 dx = x + C$$

Resultado final:
$$x + C$$