1. Elección de la sustitución:
Observamos que en el exponente tenemos una función cuadrática de $t$, y fuera de ella tenemos una $t$ lineal. Sea:
$$ u = \frac{7t^2}{3} $$
Calculamos el diferencial $du$:
$$ du = \frac{7}{3}(2t) dt = \frac{14t}{3} dt $$

2. Ajuste de la integral:
Necesitamos despejar $t dt$ de la expresión del diferencial:
$$ t dt = \frac{3}{14} du $$
Sustituimos en la integral original (sacando el coeficiente 7):
$$ I = 7 \int e^u \left( \frac{3}{14} du \right) $$
$$ I = 7 \cdot \frac{3}{14} \int e^u du = \frac{3}{2} \int e^u du $$

3. Integración y retorno a la variable original:
$$ I = \frac{3}{2} e^u + C $$
Sustituyendo $u = \frac{7t^2}{3}$:
$$ \boxed{I = \frac{3}{2} e^{\left(\frac{7t^2}{3}\right)} + C} $$