1. Preparación del integrando:
Buscamos que el numerador sea proporcional a la derivada del radical.
Sea $P(x) = -3x^2 + 6x + 17$, su derivada es $P'(x) = -6x + 6$.
Expresamos el numerador $7x - 3$ en términos de $-6x + 6$:
$$ 7x - 3 = -\frac{7}{6}(-6x + 6) + 7 - 3 = -\frac{7}{6}(-6x + 6) + 4 $$

2. Separación de la integral:
$$ I = -\frac{7}{6} \int \frac{-6x + 6}{\sqrt{-3x^2 + 6x + 17}} dx + 4 \int \frac{dx}{\sqrt{-3x^2 + 6x + 17}} $$
Llamemos $I = I_A + I_B$.

3. Cálculo de $I_A$:
Sustitución $u = -3x^2 + 6x + 17 \Rightarrow du = (-6x + 6) dx$.
$$ I_A = -\frac{7}{6} \int u^{-1/2} du = -\frac{7}{6} (2u^{1/2}) = -\frac{7}{3}\sqrt{-3x^2 + 6x + 17} $$

4. Cálculo de $I_B$:
Completamos cuadrados en el denominador:
$$ -3x^2 + 6x + 17 = -3(x^2 - 2x) + 17 = -3(x^2 - 2x + 1 - 1) + 17 = -3(x-1)^2 + 20 $$
$$ I_B = 4 \int \frac{dx}{\sqrt{20 - 3(x-1)^2}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \int \frac{dx}{\sqrt{\frac{20}{3} - (x-1)^2}} $$
Esta es la forma $\int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \arcsin\left(\frac{u}{a}\right)$. Aquí $a = \sqrt{\frac{20}{3}}$.
$$ I_B = \frac{4}{\sqrt{3}} \arcsin\left( \frac{x-1}{\sqrt{20/3}} \right) = \frac{4\sqrt{3}}{3} \arcsin\left( \frac{\sqrt{3}(x-1)}{\sqrt{20}} \right) $$

Resultado final:
$$ \boxed{I = -\frac{7}{3}\sqrt{-3x^2 + 6x + 17} + \frac{4\sqrt{3}}{3} \arcsin\left( \frac{\sqrt{3}(x-1)}{2\sqrt{5}} \right) + C} $$