1. Reordenamiento algebraico:
Dividimos numerador y denominador entre $x^2$:
$$ \int \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{\frac{x}{x^2}\sqrt{x^4 + 3x^2 + 1}} \, dx = \int \frac{1 - \frac{1}{x^2}}{\sqrt{\frac{x^4 + 3x^2 + 1}{x^2}}} \, dx $$
$$ I = \int \frac{(1 - \frac{1}{x^2}) \, dx}{\sqrt{x^2 + 3 + \frac{1}{x^2}}} $$

2. Sustitución clave:
Notamos que la derivada de $(x + \frac{1}{x})$ es $(1 - \frac{1}{x^2})$.
Sea $u = x + \frac{1}{x}$, entonces $du = (1 - \frac{1}{x^2}) \, dx$.
Además: $u^2 = (x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} \implies x^2 + \frac{1}{x^2} = u^2 - 2$.

3. Transformación de la raíz:
El término dentro de la raíz es $(x^2 + \frac{1}{x^2}) + 3 = (u^2 - 2) + 3 = u^2 + 1$.

4. Integración:
$$ I = \int \frac{du}{\sqrt{u^2 + 1}} = \ln|u + \sqrt{u^2 + 1}| + C $$

5. Resultado final:
Sustituyendo $u = x + \frac{1}{x}$:
$$ \boxed{I = \ln|x + \frac{1}{x} + \sqrt{x^2 + 3 + \frac{1}{x^2}}| + C} $$