1. Sustitución trigonométrica:
Dada la forma $x^2 + a^2$ con $a=1$, utilizamos la sustitución:
$x = \tan(\theta) \implies dx = \sec^2(\theta) d\theta$

2. Sustitución en la integral:
Sustituyendo $x$ y $dx$:
$$ \int \frac{\sec^2(\theta) d\theta}{(\tan^2(\theta) + 1)^2} $$
Usando la identidad $1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta)$:
$$ \int \frac{\sec^2(\theta) d\theta}{(\sec^2(\theta))^2} = \int \frac{\sec^2(\theta)}{\sec^4(\theta)} d\theta = \int \frac{1}{\sec^2(\theta)} d\theta $$

3. Simplificación y resolución:
Recordando que $\frac{1}{\sec^2(\theta)} = \cos^2(\theta)$:
$$ \int \cos^2(\theta) d\theta = \int \frac{1 + \cos(2\theta)}{2} d\theta $$
Integrando término a término:
$$ \frac{1}{2} \left[ \theta + \frac{\sin(2\theta)}{2} \right] + C = \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{2} \sin(\theta)\cos(\theta) + C $$

4. Retorno a la variable $x$:
Si $x = \tan(\theta)$, entonces $\theta = \arctan(x)$. Por Pitágoras en un triángulo con cateto opuesto $x$ y adyacente $1$, la hipotenusa es $\sqrt{x^2+1}$. Así, $\sin(\theta) = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$ y $\cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$.
$$ I = \frac{1}{2} \arctan(x) + \frac{1}{2} \left( \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \right) + C $$

$$ \boxed{I = \frac{1}{2} \arctan(x) + \frac{x}{2(x^2 + 1)} + C} $$