1. Datos del problema:
Se solicita integrar una función racional que contiene un término exponencial en el denominador.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Sustitución simple: $u = g(x) \Rightarrow du = g'(x)dx$


• Integral de una potencia: $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$


• Integral logarítmica: $\int \frac{du}{u} = \ln|u| + C$

3. Desarrollo paso a paso:
Para simplificar la expresión, multiplicamos el numerador y el denominador por $e^{-x}$:
$$ \int \frac{e^{-x}}{e^{-x}(1 + e^x)} dx = \int \frac{e^{-x}}{e^{-x} + 1} dx $$
Realizamos el siguiente cambio de variable:
Sea $u = e^{-x} + 1$, entonces calculamos su diferencial:
$$ du = -e^{-x} dx \Rightarrow -du = e^{-x} dx $$
Sustituyendo en la integral:
$$ \int \frac{-du}{u} = -\ln|u| + C $$
Regresando a la variable original $x$:
$$ -\ln|e^{-x} + 1| + C $$
Podemos reescribir la expresión interna: $e^{-x} + 1 = \frac{1}{e^x} + 1 = \frac{1 + e^x}{e^x}$.
$$ -\ln\left|\frac{1 + e^x}{e^x}\right| + C = \ln\left|\frac{e^x}{1 + e^x}\right| + C = \ln(e^x) - \ln(1 + e^x) + C = x - \ln(1 + e^x) + C $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\int \frac{dx}{1 + e^x} = x - \ln(1 + e^x) + C} $$