1. Identidades trigonométricas a usar:
Utilizamos la identidad del ángulo doble para el coseno:
$$ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $$

2. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos la identidad en el numerador:
$$ \int \frac{(2\cos^2 x - 1) - \cos x}{1 - \cos x} dx $$
Reordenamos el numerador para factorizarlo como un trinomio de la forma $ax^2 + bx + c$:
$$ 2\cos^2 x - \cos x - 1 = (2\cos x + 1)(\cos x - 1) $$
Sustituimos la factorización en la integral:
$$ \int \frac{(2\cos x + 1)(\cos x - 1)}{1 - \cos x} dx $$
Observamos que $(\cos x - 1) = -(1 - \cos x)$, por lo tanto simplificamos:
$$ \int \frac{-(2\cos x + 1)(1 - \cos x)}{1 - \cos x} dx = \int -(2\cos x + 1) dx $$
Distribuimos el signo negativo e integramos término a término:
$$ \int (-2\cos x - 1) dx = -2\int \cos x dx - \int 1 dx $$
$$ -2\sin x - x + C $$

3. Resultado:
$$ \boxed{-2\sin x - x + C} $$