1. Cambio de variable inicial:
Sea $u = \cos x \implies du = -\sin x dx$.
El numerador $2(\cos x + \sec x)\sin x$ se convierte en $-2(u + \frac{1}{u}) du$.
La integral es:
$$ I = \int \frac{-2(u + \frac{1}{u})}{u^6 + 6u^2 + 4} du = \int \frac{-2(u^2 + 1)}{u(u^6 + 6u^2 + 4)} du $$
Dividimos numerador y denominador por $u^7$:
$$ I = \int \frac{-2(u^{-5} + u^{-7})}{1 + 6u^{-4} + 4u^{-6}} du $$

2. Segundo cambio de variable:
Sea $v = 1 + 6u^{-4} + 4u^{-6}$.
Derivando:
$$ dv = (6(-4)u^{-5} + 4(-6)u^{-7}) du = (-24u^{-5} - 24u^{-7}) du = -24(u^{-5} + u^{-7}) du $$
Observamos que $-2(u^{-5} + u^{-7}) du = \frac{dv}{12}$.

3. Integración:
$$ I = \int \frac{1}{v} \cdot \frac{dv}{12} = \frac{1}{12} \ln|v| + c $$
Sustituyendo $v$ y luego $u = \cos x$:
$$ I = \frac{1}{12} \log \left( 1 + \frac{6}{\cos^4 x} + \frac{4}{\cos^6 x} \right) + c $$

4. Identificación:
$L = 12$, $M = 6$, $N = 4$.
Evaluamos opciones:
(a) $L + M = 12 + 6 = 18$ (Correcto).
(b) $L - M = 12 - 6 = 6$ (Correcto).
(c) $L + M + N = 12 + 6 + 4 = 22$ (Correcto).
(d) $L + M - N = 12 + 6 - 4 = 14$ (Correcto).

$$ \boxed{L=12, M=6, N=4} $$