Ii
CAL1 • Integrales
CAL1_INT_357
Ejercicios propuestos
Enunciado
Si $\int \left( \frac{\sqrt{\tan x}}{\sin x \cos x} \right) dx = A(f(x))^{1/m} + c$, identifique los valores de $A$, $m$ y la función $f(x)$.
(a) $A = 2$ \\
(b) $m = 2$ \\
(c) $f(x) = \tan x$ \\
(d) $A + m = 5$
(a) $A = 2$ \\
(b) $m = 2$ \\
(c) $f(x) = \tan x$ \\
(d) $A + m = 5$
Solución Paso a Paso
1. Transformación del integrando:
Multiplicamos y dividimos el denominador por $\cos x$:
$$ \sin x \cos x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos^2 x = \tan x \cos^2 x $$
Entonces la integral queda:
$$ I = \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\tan x \cos^2 x} dx = \int \frac{1}{\sqrt{\tan x} \cos^2 x} dx $$
Como $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$, tenemos:
$$ I = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan x}} dx $$
2. Cambio de variable:
Sea $u = \tan x \implies du = \sec^2 x dx$.
$$ I = \int \frac{du}{\sqrt{u}} = \int u^{-1/2} du $$
3. Integración:
$$ I = \frac{u^{1/2}}{1/2} + c = 2\sqrt{u} + c = 2(\tan x)^{1/2} + c $$
4. Comparación:
Comparando con $A(f(x))^{1/m} + c$:
$A = 2$, $f(x) = \tan x$, $m = 2$.
Revisando las opciones: (a), (b) y (c) son correctas. Verificando (d): $A + m = 2 + 2 = 4 \neq 5$.
$$ \boxed{A=2, m=2, f(x)=\tan x} $$
Multiplicamos y dividimos el denominador por $\cos x$:
$$ \sin x \cos x = \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos^2 x = \tan x \cos^2 x $$
Entonces la integral queda:
$$ I = \int \frac{\sqrt{\tan x}}{\tan x \cos^2 x} dx = \int \frac{1}{\sqrt{\tan x} \cos^2 x} dx $$
Como $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$, tenemos:
$$ I = \int \frac{\sec^2 x}{\sqrt{\tan x}} dx $$
2. Cambio de variable:
Sea $u = \tan x \implies du = \sec^2 x dx$.
$$ I = \int \frac{du}{\sqrt{u}} = \int u^{-1/2} du $$
3. Integración:
$$ I = \frac{u^{1/2}}{1/2} + c = 2\sqrt{u} + c = 2(\tan x)^{1/2} + c $$
4. Comparación:
Comparando con $A(f(x))^{1/m} + c$:
$A = 2$, $f(x) = \tan x$, $m = 2$.
Revisando las opciones: (a), (b) y (c) son correctas. Verificando (d): $A + m = 2 + 2 = 4 \neq 5$.
$$ \boxed{A=2, m=2, f(x)=\tan x} $$